一道看起来还行的填空压轴

一道翻折运动的题。

第一眼看到翻折 想到做垂线 算中点 再算出翻折后的点

但是这题似乎有一些简便方法——

我们可以考虑$A’$会落在哪条边。

怎么判断$A’$的位置呢？

我们可以画出来$A’$的轨迹，发现翻折其实是$A’$绕着$D$旋转，形成的轨迹是一个圆

那么我们就可以在这个圆上大做文章了。

我们可以求这个圆与四边形$OABC$的交点

但问题来了 这个$BC$是运动的，怎么求交点？

我们可以通过不停调整$BC$边，使它变成这个圆的切线。这是t最小的极端情况。

显然此时$ADBA’$是正方形，边长是$AD=2$

所以$t=2$。

这是t最大的极端情况。如果t再大，就会到四边形的下面。

因为翻折，所以$\triangle ABD\cong \triangle A’BD$

所以$AD=A’D=2,\angle DA’B=\angle DAB=90^\circ$

注意到$OD=\frac{1}{2}A’D$，所以$\angle OA’D =30^\circ$

所以$OA’=\sqrt{3},\angle BA’C=60^\circ$

$\triangle A’BC$就是含30°的直角三角形。

$BC=3, A’C=\sqrt{3}, t=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

因为$A’$不在边上，所以两边都不取等

所以最后答案就是$2\leq t\leq 2\sqrt{3}$